JavaScript算法模式——动态规划和贪心算法

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  动态规划(Dynamic Programming,DP)是这个将简化问题报告 分解成更小的子问题报告 来出理 的优化算法。下面有什么都有有用动态规划来出理 实际问题报告 的算法:

共要硬币找零

  给定一组硬币的面额,以及要找零的钱数,计算出符合找零钱数的共要硬币数量。类式,美国硬币面额有1、5、10、25这个 种面额,意味要找36美分的零钱,则得出的共要硬币数应该是完后 25美分、完后 10美分和完后 1美分共完后 硬币。这个 算法要出理 的后来诸那末类的问题报告 。大家来看看怎么用动态规划的法律依据 来出理 。

  对于每这个面额,大家都分别计算所不到的硬币数量。具体算法如下:

  1. 意味全版用1美分的硬币,一共不到36个硬币
  2. 意味用5美分的硬币,则不到7个5美分的硬币 + 完后 1美分的硬币 = 8个硬币
  3. 意味用10美分的硬币,则不到二个10美分的硬币 + 完后 5美分的硬币 + 完后 1美分的硬币 = 二个硬币
  4. 意味用25美分的硬币,则不到完后 25美分的硬币 + 完后 10美分的硬币 + 完后 1美分的硬币 = 二个硬币

  对应的示意图如下:

  方案4的硬币总数共要,什么都有有为最优方案。

  具体的代码实现如下:

function minCoinChange(coins, amount) {
    let result = null;
    if (!amount) return result;

    const makeChange = (index, value, min) => {
        let coin = coins[index];
        let newAmount = Math.floor(value / coin);
        if (newAmount) min[coin] = newAmount;
        if (value % coin !== 0) {
            makeChange(--index, value - coin * newAmount, min);
        }
    };

    const arr = [];
    for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
        const cache = {};
        makeChange(i, amount, cache);
        arr.push(cache);
    }

    console.log(arr);
    let newMin = 0;
    arr.forEach(item => {
        let min = 0;
        for (let v in item) min += item[v];
        if (!newMin || min < newMin) {
            newMin = min;
            result = item;
        }
    });
    return result;
}

  函数minCoinChange()接收一组硬币的面额,以及要找零的钱数。大家将顶端例子中的值传入:

const result = minCoinChange2([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result);

  得到如下结果:

[
  { '1': 36 },
  { '1': 1, '5': 7 },
  { '1': 1, '5': 1, '10': 3 },
  { '1': 1, '10': 1, '25': 1 }
]
{ '1': 1, '10': 1, '25': 1 }

  顶端的数组是大家在代码中打印出来的arr的值,用来展示这个不同面额的硬币作为找零硬币时,实际所不到的硬币种类和数量。最终,大家会计算arr数组中硬币总数共要的那个方案,作为minCoinChange()函数的输出。

  当然在实际应用中,大家可我很多 到把硬币抽象成任何你不到的数字,这个 算法能给出你满足结果的最小组合。

背包问题报告

  背包问题报告 是完后 组合优化问题报告 ,它被描述为:给定完后 具有固定容量的背包capacity,以及一组具有价值(value)和重量(weight)的物品,找出完后 最优方案,使得倒进背包的物品的总重量不超过capacity,且总价值最大。

  假设大家有以下物品,且背包的总容量为5:

物品# 重量 价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5

  大家用矩阵来出理 这个 问题报告 。首先,大家把物品和背包的容量组成如下矩阵:

物品(i)/重量(w) 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 (w=2, v=3) 0 0

a: 3+[0][2-2]=3+0

b: [0][2]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][3-2]=3+0

b: [0][3]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][4-3]=3+0

b: [0][4]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][5-3]=3+0

b: [0][5]=0

max(3+0,0)=3

2 (w=3, v=4) 0 0 3

a: 4+[1][3-3]=4+0

b: [1][3]=3

max(4+0,3)=4

a: 4+[1][4-3]=4+0

b: [1][4]=3

max(4+0,3)=4

a: 4+[1][5-3]=4+3

b: [1][5]=3

max(4+3,3)=7

3 (w=4, v=5) 0 0 3 4

a: 5+[2][4-4]=5+0

b: [2][4]=4

max(5+0,4)=5

a: 5+[2][5-4]=5+0

b: [2][5]=7

max(5+0,7)=7

  为了便于理解,大家将矩阵kS的第一列和第一行忽略(意味它们表示的是容量0和第0个物品)。什么都有有,按照要求往矩阵的格子里填数。意味当前的格子能放下对应的物品,指在以下这个情形:

  • a - 倒进当前物品,什么都有有剩余的重量再倒进前完后 物品
  • b - 不倒进当前物品,倒进前完后 物品

  在顶端的表格中,

  1. 当背包的重量为1时,那末物品能倒进,什么都有有全版总要0,这个 很好理解。
  2. 当背包的重量为2时,物品1可我很多 到倒进,那末指在这个情形:倒进物品1(价值为3),剩余的重量(背包的重量2减去物品1的重量2,结果为0)再倒进前完后 物品;不倒进物品1,倒进前完后 物品[0][2],价值为0。什么都有有最大价值后来max(3, 0)=3。
  3. ......
  4. 当背包的重量为5时,倒进物品2,这个情形:倒进物品2(价值为4),剩余的重量(背包的重量5减去物品2的重量3,结果为2)再倒进前完后 物品,是[1][2],对应的价值是3;不倒进物品2,,倒进前完后 物品[1][5],价值为3。什么都有有最大价值后来max(4+3, 3)=7。
  5. ......

  意味当前物品不到倒进背包,则忽略它,用前完后 值代替。大家可我很多 到按照顶端描述的过程把剩余的格子都填满,完后 表格中最后完后 单元格里的值后来最优方案。

  下面是具体的实现代码:

function knapSack(capacity, weights, values, n) {
    const kS = [];

    // 将ks初始化为完后

空的矩阵
    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        kS[i] = [];
    }

    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        for (let w = 0; w <= capacity; w++) {
            // 忽略矩阵的第1列和第1行
            if (i === 0 || w === 0) {
                kS[i][w] = 0;
            }
            else if (weights[i - 1] <= w) {
                const a = values[i - 1] + kS[i - 1][w - weights[i - 1]];
                const b = kS[i - 1][w];
                kS[i][w] = Math.max(a, b);
            }
            else {
                kS[i][w] = kS[i - 1][w];
            }
        }
    }

    console.log(kS);
}

  对于const a,其价值分为两主次,第一主次后来它当事人的价值(values[i - 1]),第二主次是用背包剩余的重量(w - weights[i - 1])倒进前完后 物品(kS[i - 1])。对于const b,后来找前完后 能倒进这个 重量的物品(kS[i - 1][w])。什么都有有取这个 种情形下的最大值。

  测试一下knapSack()函数,

const capacity = 5;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
knapSack(capacity, weights, values, weights.length);

  下面是矩阵kS的输出结果:

[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 3, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 4, 7 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 5, 7 ]
]

 最长公共子序列(LCS)

  找出完后 字符串序列的最长子序列的长度。所谓最长子序列,是指完后 字符串序列中以相同顺序出现,但无须求连续的字符串序列。类式下面完后 字符串:

  字符串1:acbaed

  字符串2:abcadf

  则LCS为acad。

  和背包问题报告 的思路类式,大家用下面的表格来描述整个过程:

    a b c a d f
  0 0 0 0 0 0 0
a 0 1 1 1 1 1 1
c 0 1 1 2 2 2 2
b 0 1 2 2 2 2 2
a 0 1 2 2 3 3 3
e 0 1 2 2 3 3 3
d 0 1 2 2 3 4 4

  矩阵的第一行和第一列都被设置为0,剩余的主次,遵循下面这个情形:

  • 意味wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等,则矩阵对应的单元格的值为单元格[i - 1][j - 1]的值加1。
  • 意味wordX[i - 1]和wordY[j - 1]不相等,则找出单元格[i - 1][j]和单元格[i][j - 1]之间的最大值。

  下面是具体的实现代码:

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
            }
        }
    }
    console.log(l);
    console.log(l[m][n]);
}

  大家将矩阵打印出来,结果如下:

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
lcs(wordX, wordY);
[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
  [ 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4 ]
]
4

   矩阵中最后完后 单元格的值为LCS的长度。那怎么计算出LCS的具体内容呢?大家可我很多 到设计完后 相同的solution矩阵,用来做标记,意味wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等,则将solution矩阵中对应的值设置为'diagonal',即顶端表格中背景为灰色的单元格。什么都有有,根据[i][j]和[i - 1][j]算不算相等标记为'top'或'left'。什么都有有通过printSolution()法律依据 来找出LCS的内容。修改完后 的代码如下:

function printSolution(solution, wordX, m, n) {
    let a = m;
    let b = n;
    let x = solution[a][b];
    let answer = '';
    while (x !== '0') {
        if (solution[a][b] === 'diagonal') {
            answer = wordX[a - 1] + answer;
            a--;
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'left') {
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'top') {
            a--;
        }
        x = solution[a][b];
    }
    return answer;
}

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    const solution = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        solution[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
            solution[i][j] = '0';
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
                solution[i][j] = 'diagonal';
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
                solution[i][j] = l[i][j] === l[i - 1][j] ? 'top' : 'left';
            }
        }
    }

    return printSolution(solution, wordX, m, n);
}

  测试结果:

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // acad

   贪心算法遵循这个近似出理 问题报告 的技术,期盼通过每个阶段的局部最优选择,从而达到全局的最优。它不像动态规划算法那样计算更大的格局。

共要硬币找零

  大家来看看怎么用贪心算法出理 前面提到过的共要硬币找零问题报告 。

function minCoinChange(coins, amount) {
    const change = [];
    let total = 0;
    for (let i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
        const coin = coins[i];
        while (total + coin <= amount) {
            change.push(coin);
            total += coin;
        }
    }
    return change;
}

const result = minCoinChange([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result); // [ 25, 10, 1 ]

  前提是coins数组意味按从小到大排好序了,贪心算法从最大值始于英文英语 尝试,意味该值不满足条件(要找零的钱数),则继续向下找,直到找到满足条件的所有值。以上算法无须能满足所有情形下找出最优方案,类式下面这个 情形:

const result = minCoinChange([1, 2, 5, 9, 10], 18);
console.log(result); // [ 10, 5, 2, 1 ]

  给出的结果[10, 5, 2, 1]并全版总要最优方案,最优方案应该是[9, 9]。

  与动态规划相比,贪心算法更简单、效率更高。什么都有有其结果无须老要最理想的。什么都有有综合看来,它相对执行时间来说,输出完后 可我很多 到接受的结果。

背包问题报告

物品# 重量 价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5

  在动态规划的例子里,假定背包的容量为5,最佳方案是往背包里倒进物品1和物品2,总价值为7。在贪心算法中,大家不到考虑分数的情形,假定背包的容量为6,倒进物品1和物品2完后 ,剩余容量为1,可我很多 到倒进1/4的物品3,总价值为3+4+0.25×5=8.25。大家来看看具体的实现代码:

function knapSack(capacity, weights, values) {
    const n = values.length;
    let load = 0;
    let val = 0;
    for (let i = 0; i < n && load < capacity; i++) {
        if (weights[i] <= capacity - load) {
            val += values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1},重量:${weights[i]},价值:${values[i]}`);
        } else {
            const r = (capacity - load) / weights[i];
            val += r * values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1}的${r},重量:${r * weights[i]},价值:${val}`);
        }
    }

    return val;
}

  从第完后 物品始于英文英语 遍历,意味总重量小于背包的容量,则继续迭代,倒进物品。意味物品可我很多 到全版地倒进背包,则将其价值和重量分别计入到变量val和load中,一同打印倒进物品的信息。意味物品不到全版地倒进背包,计算可不能否倒进的比例r,什么都有有将这个 比例所对应的价值和重量分别计入到变量val和load中,一同打印物品的信息。最终输出总的价值val。下面是测试结果:

const capacity = 6;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
console.log(knapSack(capacity, weights, values));
物品1,重量:2,价值:3
物品2,重量:3,价值:4
物品3的0.25,重量:1,价值:8.25
8.25

  在动态规划算法中,意味将背包的容量也设定为6,计算结果则为8。

最长公共子序列(LCS)

  最后大家再来看看怎么用贪心算法出理 LCS的问题报告 。下面的代码返回了完后 给定数组中的LCS的长度:

function lcs(wordX, wordY, m = wordX.length, n = wordY.length) {
    if (m === 0 || n === 0) {
        return 0;
    }
    if (wordX[m - 1] === wordY[n - 1]) {
        return 1 + lcs(wordX, wordY, m - 1, n - 1);
    }
    const a = lcs(wordX, wordY, m, n - 1);
    const b = lcs(wordX, wordY, m - 1, n);
    return a > b ? a : b;
}

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // 4