[区块链] 密码学——椭圆曲线密码算法(ECC)

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  今天在学椭圆曲线密码(Elliptic Curve Cryptography,ECC)算法,另一方手里缺少介绍该算法的专业书籍,故在网上查了或多或少博文与书籍,或多或少大多数博客写的真的是。。。你懂的。。。真不愧是 ‘天下文章一大抄’ 啊! 雷同不说,关键是介绍的都全部就有很清楚,是我在阅读过程中、产生的或多或少问題图片无法补救!类似:只来句‘P+Q=R’,或多或少为这名等于呢?是根据这名计算出来的呢? 时候 查了了吗,才发现:这是规定的、是定义!瞬间很是无语!

  好了,不吐槽了,为了方便朋友 对椭圆曲线密码算法有系统的了解,我挂接了几篇较好的博文,并加带了另一方的见解!

  [  时间有限、见解不深,如老会 老会 出现错误,欢迎指正!]


  比特币使用椭圆曲线算法生成公钥和私钥,选择的是secp256k1曲线。

  椭圆曲线密码学(Elliptic Curve Cryptography) 的缩写。该算法是基于椭圆曲线数学的三种公钥密码的算法,其安全性依赖于椭圆曲线离散对数问題图片的困难性。

  在ECC流行起来时候 ,几乎所有的公钥算法全部就有基于RSA、DSA和DH ———— 基于模运算的可选加密系统。RSA及其友类算法在当前仍非常重要,老会 与ECC一起使用。不过,RSA及其友类算法肩上的原理很容易解释,因而被广泛理解,或多或少简单的实现也都不能很容易编写出来;但ECC的实现基础对于大多数人来说仍很神秘。

   具体来说,我将触及以下主题:

  1. 数学上的椭圆曲线及相关概念

  2. 密码学中的椭圆曲线

  3. 椭圆曲线上的加密/解密

  4. 椭圆曲线签名与验证签名


一、数学上的椭圆曲线及相关概念

   1.1  从平行线谈起

  平行线,永不相交。不过到了近代这名结论遭到了质疑。平行线会不用在很远很远的地方相交?事实上这样 人见到过。或多或少“平行线,永不相交”或多或少假设(朋友 想想初中学习的平行公理,是这样 证明的)。既然都不能假设平行线永不相交,也都不能假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞(请朋友 闭上眼睛,想象一下那个无穷远点P∞,P∞是全部就有很虚幻,虽然与其说数学锻炼人的抽象能力,还不如说是锻炼人的想象力)。给个图帮助理解一下:

  

  直线上老会 老会 出现P∞点,所带来的好处是所有的直线都相交了,且都不能了原先交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把原先平面上的点叫做平常点。

  以下是无穷远点的几个性质。

  ▲直线L上的无穷远点都不能了有原先。(从定义可直接得出)

  ▲平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。(从定义可直接得出)

  ▲ 平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。(或多或少L1和L2有公共的无穷远点P ,则L1和L2有原先交点A、P,故假设错误。)

  ▲平面上全体无穷远点构成第一根无穷远直线。(另一方想象一下这条直线吧)

  ▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。

  1.2  射影平面坐标系

  射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系(或多或少朋友 初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系)的扩展。朋友 知道普通平面直角坐标系这样 为无穷远点设计坐标,都不能了表示无穷远点。为了表示无穷远点,产生了射影平面坐标系,当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点(数学也是“向下兼容”的)。

  朋友 对普通平面直角坐标系上的点A的坐标(x,y)做如下改造:

  令x=X/Z ,y=Y/Z(Z≠0);则A点都不能表示为(X:Y:Z)。

  变成了有原先参量的坐标点,这就对平面上的点建立了原先新的坐标体系。

  例1:求点(1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  解:∵X/Z=1 ,Y/Z=2(Z≠0)∴X=Z,Y=2Z ∴坐标为(Z:2Z:Z),Z≠0。即(1:2:1)(2:4:2)(1.2:2.4:1.2)等形如(Z:2Z:Z),Z≠0的坐标,全部就有(1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  朋友 也都不能得到直线的方程aX+bY+cZ=0(想想为这名?提示:普通平面直角坐标系下直线一般方程是ax+by+c=0)。新的坐标体系不能表示无穷远点么?那要让朋友 先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识,朋友 知道无穷远点是两条平行直线的交点。这样 ,怎样求两条直线的交点坐标?这是初中的知识,或多或少将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是:aX+bY+c1Z =0; aX+bY+c2Z =0  (c1≠c2);

  (为这名?提示:都不能从斜率考虑,机会平行线斜率相同);

  将二方程联立,求解。有c2Z= c1Z= -(aX+bY),∵c1≠c2 ∴Z=0  ∴aX+bY=0;

  或多或少无穷远点或多或少这名形式(X:Y:0)表示。注意,平常点Z≠0,无穷远点Z=0,或多或少无穷远直线对应的方程是Z=0。

  例2:求平行线L1:X+2Y+3Z=0 与L2:X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。

  解:机会L1∥L2 或多或少有Z=0, X+2Y=0;或多或少坐标为(-2Y:Y:0),Y≠0。即(-2:1:0)(-4:2:0)(-2.4:1.2:0)等形如(-2Y:Y:0),Y≠0的坐标,都表示这名无穷远点。

  看来这名新的坐标体系不能表示射影平面上所有的点,朋友 就把这名不能表示射影平面上所不为什么我么我的坐标体系叫做射影平面坐标系。

  1.3  椭圆曲线

  上一节,朋友 建立了射影平面坐标系,这名节朋友 将在这名坐标系下建立椭圆曲线方程。机会朋友 知道,坐标中的曲线是都不能用方程来表示的(比如:单位圆方程是x2+y2=1)。椭圆曲线是曲线,自然椭圆曲线全部就有方程。

  椭圆曲线的定义:

  第一根椭圆曲线是在射影平面上满足方程---------------------------[1-1]的所不为什么我么我的集合,且曲线上的每个点全部就有非奇异(或光滑)的。

  定义详解:

  ▲[1-1] 是Weierstrass方程(维尔斯特拉斯,Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897),是原先齐次方程。

  ▲ 椭圆曲线的结构,并全部就有椭圆的。或多或少机会椭圆曲线的描述方程,类似计算原先椭圆周长的方程,故得名。

  朋友 来看看椭圆曲线是这名样的。

  

  ▲ 所谓“非奇异”或“光滑”的,在数学中是指曲线上任意或多或少的偏导数Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z)都不能了一起为0。机会你这样 学过高 等数学,都不能原先理解这名词,即满足方程的任意或多或少都位于切线。

  下面原先方程都全部就有椭圆曲线,尽管朋友 是方程[3-1]的形式。

 

 

  机会朋友 在(0:0:1)点处(即原点)这样 切线。

  ▲椭圆曲线上有原先无穷远点O∞(0:1:0),机会这名点满足方程[1-1]。

  知道了椭圆曲线上的无穷远点。朋友 就都不能把椭圆曲线塞进 普通平面直角坐标系上了。机会普通平面直角坐标系只比射影平面坐标系少无穷远点。朋友 在普通平面直角坐标系上,求出椭圆曲线上所有平常点组成的曲线方程,加带带无穷远点O∞(0:1:0),不就构成椭圆曲线了么?

  朋友 设x=X/Z ,y=Y/Z代入方程[1-1]得到:

  y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 -------------------------[1-2]

  也或多或少说满足方程[1-2]的光滑曲线加带原先无穷远点O∞,组成了椭圆曲线。为了方便运算,表述,以及理解,今后论述椭圆曲线将主要使用[1-2]的形式。

  本节的最后,朋友 谈一下求椭圆曲线或多或少的切线斜率问題图片。

  由椭圆曲线的定义都不能知道,椭圆曲线是光滑的,或多或少椭圆曲线上的平常点全部就有切线。而切线最重要的原先参数或多或少斜率k。

  例3:求椭圆曲线方程上,平常点A(x,y)的切线的斜率k。

  解:令F(x,y)= y2+a1xy+a3y-x3-a2x2-a4x-a6

  求偏导数

  Fx(x,y)= a1y-3x2-2a2x-a4

  Fy(x,y)= 2y+a1x +a3

  则导数为:f'(x)=- Fx(x,y)/ Fy(x,y)=-( a1y-3x2-2a2x-a4)/(2y+a1x +a3)

         = (3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x +a3)

  或多或少 -------------[1-3]

  看不懂解题过程这样 关系,记住结论[1-3]就都不能了。



  1.4  椭圆曲线上的加法

  上一节,朋友 机会看后了椭圆曲线的图象,但点与点之间好象这样 这名联系。朋友 都不能建立原先类似在实数轴加带法的运算法则呢?天才的数学家找到了这名运算法则

  自从近世纪代数学引入了群、环、域的概念,使得代数运算达到了角度的统一。比如数学家总结了普通加法的主要结构,提出了加群(也叫交换群,或Abel(阿贝尔)群),在加群的眼中。实数的加法和椭圆曲线的上的加法这样 这名区别。这你爱不爱我或多或少数学抽象把:)。关于群以及加群的具体概念请参考近世代数方面的数学书。

  运算法则:任意取椭圆曲线上两点P、Q (若P、Q两点重合,则做P点的切线)做直线交于椭圆曲线的另或多或少R’,过R’做y轴的平行线交于R。朋友 规定P+Q=R。(如图)

  法则详解:

  ▲这里的+全部就有实数中普通的加法,或多或少从普通加法中抽象出来的加法,他具备普通加法的或多或少性质,但具体的运算法则显然与普通加法不同。

  ▲根据这名法则,都不能知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上或多或少P的连线交于P’,过P’作y轴的平行线交于P,或多或少有 无穷远点 O∞+ P = P 。原先,无穷远点 O∞的作用与普通加法中零的作用相当(0+2=2),朋友 把无穷远点 O∞ 称为 零元。一起朋友 把P’称为P的负元(简称,负P;记作,-P)。(参见下图)

  ▲根据这名法则,都不能得到如下结论 :机会椭圆曲线上的原先点A、B、C,位于同第一根直线上,这样 朋友 的和等于零元,即A+B+C= O∞

同老会 线上的原先点之和等于0.

  注:朋友 时需的或多或少原先点同线,与点的次序无关。这导致 ,机会P、Q和R同线,这样 P + (Q + R) = Q + (P + R) = R + (P + Q) = • • • = 0. 原先,朋友 直观地证明了朋友 的“+”运算既满足结合律也满足交换律。  

  ▲k个相同的点P相加,朋友 记作kP。如下图:P+P+P = 2P+P = 3P。

  下面,朋友 利用P、Q点的坐标(x1,y1),(x2,y2),求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。

  例4:求椭圆曲线方y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6上,平常点P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的坐标。

  解:(1)先求点-R(x3,y3)

  机会P,Q,-R三点共线,故设共线方程为y=kx+b,其中

  若P≠Q(P,Q两点不重合) 则

  直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)

  若P=Q(P,Q两点重合) 则直线为椭圆曲线的切线,故由例3.1可知:

  k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)

  或多或少P,Q,-R三点的坐标值或多或少方程组:

  y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6    -----------------[1] 

  y=(kx+b)                     -----------------[2]

的解。

  将[2],代入[1] 有

  (kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6    --------[3]

  对[3]化为一般方程,根据三次方程根与系数关系(当三次项系数为1时;-x1x2x3 等于常数项系数, x1x2+x2x3+x3x1等于一次项系数,-(x1+x2+x3)等于二次项系数。)

  或多或少-(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2

  x3=k2+ka1+a2+x1+x2;---------------------求出点-R的横坐标

  机会k=(y1-y3)/(x1-x3) 故

  y3=y1-k(x1-x3);-------------------------------求出点-R的纵坐标

  (2)利用-R求R

  显然有 x4=x3= k2+ka1+a2+x1+x2; ------------求出点R的横坐标

  而y3 y4 为 x=x4时 方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的解

  化为一般方程y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0 , 根据二次方程根与系数关系得:

  -(a1x+a3)=y3+y4

  故y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3); ---------------求出点R的纵坐标

  即:

  x4=k2+ka1+a2+x1+x2;

  y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;

  本节的最后,提醒朋友 注意或多或少,时候 提供的图像机会会给朋友 产生三种错觉,即椭圆曲线是关于x轴对称的。事实上,椭圆曲线暂且一定关于x轴对称。如下图的y2-xy=x3+1


二、密码学中的椭圆曲线 

  朋友 现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识,这是值得高兴的。

  但请朋友 注意,前面学到的椭圆曲线是连续的,并不适合用于加密或多或少,朋友 时需把椭圆曲线变成离散的点, 要把椭圆曲线定义在有限域上

  让朋友 想一想,为这名椭圆曲线为这名连续?是机会椭圆曲线上点的坐标,是实数的(也或多或少说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的),实数是连续的,导致 了曲线的连续。或多或少,朋友 要把椭圆曲线定义在有限域上(顾名思义,有限域是三种都不能了由有限个元素组成的域)。

  域的概念是从朋友 的有理数,实数的运算中抽象出来的,严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说,域中的元素同有理数一样,有另一方得加法、乘法、除法、单位元(1),零元(0),并满足交换率、分配率。

  下面,朋友 给出原先有限域Fp,这名域都不能了有限个元素。

   

  Fp中都不能了p(p为素数)个元素0,1,2 …… p-2,p-1;

  Fp 的加法(a+b)法则是 a+b≡c (mod p);即,(a+b)÷p的余数 和c÷p的余数相同。

  Fp 的乘法(a×b)法则是  a×b≡c (mod p);

  Fp 的除法(a÷b)法则是  a/b≡c (mod p);即 a×b-1≡c  (mod p);(b-1也是原先0到p-1之间的整数,但满足b×b-1≡1 (mod p) )。

  Fp 的单位元是1,零元是 0。

  一起,并全部就有所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类都不能用来加密的椭圆曲线,也是最为简单的一类。下面朋友 就把y2=x3+ax+b(mod p) 这条曲线定义在Fp上:

  选择原先满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b

  4a3+27b2≠0 (mod p)

  则满足下列方程的所不为什么我么我(x,y),加带带 无穷远点O∞ ,构成第一根椭圆曲线。

  y2=x3+ax+b  (mod p)

  其中x,y∈[0,p-1]的整数,并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。

  朋友 看一下y2=x3+x+1  (mod 23)的图像

  是全部就有虽然不可思议?椭圆曲线,为什么我么我变成了这般模样,成了原先原先离散的点?

  椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子,但其本质仍是第一根椭圆曲线。举原先不太恰当的例子,好比是水,在常温下,是氯化氢甲烷气体;到了零下,水就变成冰,成了氯化氢甲烷气体;而温度上升到一百度,水又变成了水蒸气。但其本质仍是H2O。

  Fp上的椭圆曲线同样有加法,但机会都不能了给以几何意义的解释。不过,加法法则和实数域上的差过多,请读者自行对比。

  1. 无穷远点 O∞是零元,有O∞+ O∞= O∞,O∞+P=P

  2. P(x,y)的负元是 (x,-y),有P+(-P)= O∞

  3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系:

  x3≡k2-x1-x2(mod p) 

  y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)

  其中若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1  若P≠Q,则k=(y2-y1)/(x2-x1)

  例5: 已知椭圆曲线已知E23(1,1)上两点P(3,10),Q(9,7),求(1)-P,(2)P+Q,(3) 2P

          

        

解:

      

  最后,朋友 讲一下椭圆曲线上点的阶。

  机会椭圆曲线上或多或少P,位于最小的正整数n,使得数乘nP=O∞,则将n称为P的 阶,若n不位于,朋友 说P是无限阶的。

  事实上,在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n全部就有位于的。

       

  计算可得27P=-P=(3,13)

  或多或少28P=O ∞ P的阶为28

  这名点做成了原先循环阿贝尔群,其中生成元为P,阶数为29。显然点的分布与顺序全部就有杂乱无章


三、椭圆曲线上的加密/解密

  公开密钥算法老会 要基于原先数学上的问題图片。比如RSA 妙招的是:给定原先素数p、q 很容易相乘得到n,而对n进行因式分解却相对困难。那椭圆曲线上有这名问題图片呢?

  考虑如下等式:

  K=kG  [其中 K,G为Ep(a,b)上的点,k为小于n(n是点G的阶)的整数]

  这样 发现,给定k和G,根据加法法则,计算K很容易;但给定K和G,求k就相对困难了。

  这或多或少椭圆曲线加密算法采用的问題图片。

  朋友 把点G称为基点(base point),

  k(k<n,n为基点g的阶)称为私有密钥(privte key),

  k称为公开密钥(public="" key)。<="" p="">

  现在朋友 描述原先利用椭圆曲线进行加密通信的过程:

  1、用户A选定第一根椭圆曲线Ep(a,b),并取椭圆曲线上或多或少,作为基点G。

  2、用户A选择原先私有密钥k,并生成公开密钥K=kG。

  3、用户A将Ep(a,b)和点K,G传给用户B。

  4、用户B接到信息后 ,将待传输的明文编码到Ep(a,b)上或多或少M(编码妙招或多或少,这里不作讨论),并产生原先随机整数r(r<n)。

  5、用户B计算点C1=M+rK;C2=rG。

  6、用户B将C1、C2传给用户A。

  7、用户A接到信息后,计算C1-kC2,结果或多或少点M。

  机会C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M再对点M进行解码就都不能得到明文。

  在这名加密通信中,机会有原先偷窥者H ,他都不能了看后Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通过K、G 求k 或通过C2、G求r 全部就有相对困难的。或多或少,H无法得到A、B间传送的明文信息。

总结:   

设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。   公钥加密:   选择随机数r,将消息M生成密文C,该密文是原先点对,即:   C = {rG, M+rK},其中K为公钥   私钥解密:   M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M   其中k、K分别为私钥、公钥。

       ECC技术要求:

  密码学中,描述第一根Fp上的椭圆曲线,常用到八个参量:

       T=(p,a,b,G,n,h)。

  (p 、a 、b 用来选择第一根椭圆曲线,G为基点,n为点G的阶,h 是椭圆曲线上所不为什么我么我的个数m与n相除的整数帕累托图)

  这几个参量取值的选择,直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下几个条件:

  1、p 当然越大越安全,但越大,计算效率会减慢,80位左右都不能满足一般安全要求;

  2、p≠n×h;

  3、pt≠1 (mod n),1≤t<20;

  4、4a3+27b2≠0 (mod p);

  5、n 为素数;

  6、h≤4。


四、椭圆曲线签名与验证签名

   椭圆曲线签名算法,即ECDSA。

  设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。

 

  私钥签名:

  1、选择随机数r,计算点rG(x, y)。

  2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k,计算s = (h + kx)/r。

  3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

 

  公钥验证签名:

  1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。

  2、根据消息求哈希h。

  3、使用发送方公钥K计算:hG/s + xK/s,并与rG比较,如相等即验签成功。

 

  原理如下:

  hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s

  = r(h+xk)G / (h+kx) = rG


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REFERENCE

1.巴比特论坛 作者:ZMWorm http://8btc.com/article-138-1.html

2.张禾瑞,《近世代数基础》,高等教育出版社,1978

3.闵嗣鹤 严士健,《初等数论》,高等教育出版社,1982

4. ECC详解 https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/7392805.html